Εφαρμογή Ιδιοδιάνυσμα

Στη σύγχρονη φυσική, η εφαρμογή των ιδιοδιανυσμάτων είναι πολύ σημαντική. Η ακριβής θέση του ηλεκτρονίου μπορεί να βρεθεί με τη βοήθεια της ιδιοσυνάρτησης. Σε γεωμετρική εφαρμογή, το ιδιοδιάνυσμα που αντιπροσωπεύει μη μηδενική πραγματική αριθμητική ιδιοτιμή δείχνει προς μια κατεύθυνση που δείχνει τον τεντωμένο μετασχηματισμό και η ιδιοτιμή είναι ο παράγοντας με τον οποίο τεντώνεται. Το 1926 ο τομέας της κβαντικής μηχανικής αναπτύχθηκε ανεξάρτητα από δύο διάσημους επιστήμονες Werner Heisenberg και Erwin Schrödinger. Ο Schrödinger ανέπτυξε τη θεμελιώδη εξίσωση της κβαντικής μηχανικής. Χρησιμοποίησε αυτή την έννοια στην κβαντομηχανική για να βρει τη θέση των ηλεκτρονίων.

Το ιδιοδιάνυσμα δεν περιστρέφεται στον πολυδιάστατο διανυσματικό χώρο. Τα ιδιοδιανύσματα είναι εξέχοντα στην ανάλυση των γραμμικών μετασχηματισμών. Το πρόθεμα "eigen" προέρχεται από τη γερμανική λέξη eigen, που σημαίνει "δικός". Χρησιμοποιήθηκε αρχικά για τη μελέτη του κύριου άξονα της δυναμικής περιστροφής των άκαμπτων σωμάτων. Τα ιδιοδιανύσματα έχουν πολυάριθμες εφαρμογές στον τομέα των ατομικών τροχιακών, της ανάλυσης δονήσεων, της αναγνώρισης προσώπου, της διαγωνοποίησης μήτρας και της ανάλυσης σταθερότητας.

Θεωρήστε ένα ιδιοδιάνυσμα V του οποίου ο γραμμικός μετασχηματισμός είναι Τ, ένα μη μηδενικό διάνυσμα. Όταν εφαρμόζεται ο μετασχηματισμός Τ σε αυτό, δεν αλλάζει κατεύθυνση. Εφαρμόζοντας το T στο ιδιοδιάνυσμα βρήκαμε το ιδιοδιάνυσμα με την κλιμακωτή τιμή λ, που ονομάζεται ιδιοτιμή.

Μαθηματικά μπορεί να γραφτεί ως:

T (V) =  (V)

Είναι γνωστή ως εξίσωση ιδιοτιμής .λ μπορεί να είναι οποιαδήποτε βαθμωτή μπορεί να είναι αρνητική, θετική, μηδενική ή μιγαδική.

Εφαρμογή

Πολλές πολύπλοκες θεωρίες μπορούν να απλοποιηθούν με τη βοήθεια ιδιοδιανυσμάτων. Τα ιδιοδιανύσματα βρίσκουν πολυάριθμες εφαρμογές στη φυσική και τη χημεία. Η πιο κοινή εφαρμογή των ιδιοδιανυσμάτων είναι στον γεωμετρικό μετασχηματισμό, την εξίσωση Schrodinger, τα μοριακά τροχιακά κ.λπ.

Εξίσωση Schrödinger

Ένα κλασικό παράδειγμα εξίσωσης ιδιοδιανύσματος και ιδιοτιμής είναι ο μετασχηματισμός T που αντιπροσωπεύεται ως ανεξάρτητος από το χρόνο διαφορικό τελεστή είναι η εξίσωση Schrödinger στην κβαντομηχανική.

Ο Schrödinger δίνει μια συνταγή για την κατασκευή αυτού του τελεστή από την εξίσωση για τη συνολική ενέργεια του συστήματος. Η συνολική ενέργεια του συστήματος λαμβάνει υπόψη την προσθήκη κινητικών ενεργειών όλων των υποατομικών σωματιδίων (ηλεκτρόνια, πυρήνες), με ελκυστική ηλεκτρική δυναμική ενέργεια μεταξύ των ηλεκτρονίων και των πυρήνων και απωστική ηλεκτρική δυναμική ενέργεια μεταξύ των ηλεκτρονίων και των πυρήνων ξεχωριστά.

Η απλούστερη μορφή της ανεξάρτητης από το χρόνο εξίσωσης Schrödinger είναι 

H ψ =E ψ

Πού

E =Ολική ενέργεια ηλεκτρονίου

ψ =κυματοσυνάρτηση ηλεκτρονίου είναι οι ιδιοσυναρτήσεις του που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή

H =Hamiltonians που είναι διαφορικός τελεστής δεύτερης τάξης

Σε μία διάσταση

Ĥ =−ħ²2m d²/dx² + V(x) 

Πού, 

V(x) =δυναμική ενέργεια, (V =− Ze²/4πr)

Σε τρεις διαστάσεις, 

Ĥ =−(ħ²/2m) (∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z²) + V(x,y,z)

(Χαμιλτονιανός τελεστής) (Ιδιοσυνάρτηση) =(Ιδιοτιμή) (Ιδιοσυνάρτηση)

H ψ =E ψ

Εδώ το ιδιοδιάνυσμα της ιδιοτιμής Ψ πρέπει να είναι συνάρτηση μονής τιμής, συνεχής και πεπερασμένη. Η πρώτη παράγωγος του Ψ w.r.t. οι μεταβλητές του πρέπει να είναι συνεχείς.

Υπακούει στην Συνθήκη της Ορθογωνικότητας,

αν τα ψ1 και ψ2 είναι δύο αποδεκτές ιδιοσυναρτήσεις με τη μορφή κυματοσυναρτήσεων, είναι ορθογώνιες.

∫𝜓1𝜓2 𝜏 =0

Υπακούει επίσης στην Συνθήκη Κανονικοποίησης, η οποία είναι η πιθανότητα εύρεσης σωματιδίων σε ολόκληρο τον χώρο πρέπει να είναι ενότητα.

∫𝜓1𝜓2 𝑑𝜏 =1 (𝑑𝜏 δίνει το στοιχείο όγκου που δίνεται από dx, dy και dz) 

Η πιθανότητα να βρεθεί ένα ηλεκτρόνιο στο εσωτερικό ενός ατόμου είναι ίση με το τετράγωνο της δραστηριότητας του τροχιακού κύματος ή 𝛗² εκείνη τη στιγμή.

Είναι γνωστό ως υπερπληθυσμένο και πάντα επιρρεπές σε συνωστισμό 𝛗² όταν εξετάζουμε διαφορετικούς αριθμούς διαφορετικών σημείων μέσα σε ένα άτομο, είναι δυνατόν να προβλέψουμε την περιοχή γύρω από τον πυρήνα όπου τα ηλεκτρόνια θα είναι περισσότερο παρόντα. Εάν η τιμή είναι 0, τότε είναι γνωστή ως κόμβος και η εύρεση σε ένα ηλεκτρόνιο για αυτόν τον λόγο είναι επίσης 0.

Συστήματα επικοινωνίας

Ο Claude Shannon χρησιμοποίησε τις ιδιοτιμές για να υπολογίσει το θεωρητικό εννοιολογικό όριο ως προς το πόσες πληροφορίες μπορούν να μεταδοθούν μέσω ενός μέσου επικοινωνίας όπως η κινητή γραμμή, το ραδιοφωνικό σήμα ή ο αέρας. Αυτό το έκανε εφαρμόζοντας ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές για να τα υπολογίσει από το κανάλι επικοινωνίας που εκφράζεται ως μήτρα και στη συνέχεια αξιολογείται στις ιδιοτιμές.

Γεωλογία και Παγετώνια

Στον τομέα της γεωλογίας, κυρίως στη μελέτη των παγετώνων, η εφαρμογή ιδιοδιανυσμάτων και οι ιδιοτιμές χρησιμοποιούνται ως ειδική μέθοδος με την οποία ένας τεράστιος όγκος πληροφοριών σχετικά με τον προσανατολισμό και τη βύθιση των συστατικών ενός υφάσματος clast μπορεί να συνοψιστεί σε έναν τρισδιάστατο χώρο με τη βοήθεια έξι αριθμών. Ένας γεωλόγος συλλέγει όλα αυτά τα δεδομένα για εκατοντάδες ή χιλιάδες κλάστες σε ένα δείγμα εδάφους που μπορεί να συγκριθεί μόνο γραφικά με ένα διάγραμμα Tri-Plot (Sneed and Folk) ή ως Stereonet σε ένα δίχτυ Wulff.

Μηχανολογία 

Στη μηχανολογία, η εφαρμογή των ιδιοδιανυσμάτων μας επιτρέπει να μειώσουμε και να απλοποιήσουμε μια γραμμική λειτουργία σε ξεχωριστά, πιο απλά προβλήματα. Για παράδειγμα, εάν εφαρμοστεί μια εξωτερική δύναμη παραμόρφωσης σε ένα πλαστικό σώμα, αυτή η παραμόρφωση μπορεί να διαχωριστεί σε κύριες κατευθύνσεις των οποίων η κατεύθυνση είναι  στην υψηλότερη παραμόρφωση. Τα διανύσματα στις κύριες κατευθύνσεις είναι τα ιδιοδιανύσματα και η ποσοστιαία παραμόρφωση σε κάθε κύρια κατεύθυνση είναι η αντίστοιχη ιδιοτιμή.

Μια άλλη εφαρμογή των ιδιοδιανυσμάτων της ροπής αδράνειας ορίζει τους κύριους άξονες ενός άκαμπτου σώματος. Ο τανυστής της ροπής αδράνειας είναι ένα βασικό μέγεθος που απαιτείται για την αξιολόγηση της δυναμικής περιστροφής ενός άκαμπτου σώματος γύρω από το κέντρο μάζας του.

Ανάλυση κραδασμών

Το ιδιοδιάνυσμα εφαρμόζεται στη διαδικασία ανάλυσης κραδασμών μηχανικών κατασκευών με πολλούς βαθμούς ελευθερίας. Οι ιδιοτιμές είναι οι φυσικές συχνότητες (ιδιοσυχνότητες) δόνησης ή ταλάντωσης και τα ιδιοδιανύσματα αντιπροσωπεύονται από τα σχήματα αυτών των τρόπων δόνησης. Μαθηματικά, αντιπροσωπεύεται από μια εξίσωση 

(w2m + wc + k ) x =0 

Αυτή η ιδιότητα της ορθογωνικότητας αυτών των ιδιοδιανυσμάτων δίνει την αποσύνδεση των διαφορικών εξισώσεων έτσι ώστε το σύστημα να μπορεί να παρουσιαστεί ως γραμμικό αλγεβρικό άθροισμα των ιδιοδιανυσμάτων. Αυτό το πρόβλημα ιδιοτιμών σύνθετων δομών μερικές φορές λύνεται χρησιμοποιώντας τη διαδικασία της ανάλυσης πεπερασμένων στοιχείων, αλλά η πιθανότητα οδηγεί σε μια λύση προβλημάτων δόνησης με βαθμωτές τιμές.

Στη δομή της γέφυρας, αυτή η φυσική συχνότητα της γέφυρας είναι η ιδιοτιμή του μικρότερου μεγέθους αυτού του συστήματος, που είναι το μοντέλο της γέφυρας.

Συμπέρασμα

Οι ιδιοτιμές δεν χρησιμοποιούνται μόνο για την ανακάλυψη νέων και καλύτερων σχεδίων για το μέλλον, αλλά χρησιμοποιούνται επίσης για να εξηγήσουν φυσικά φαινόμενα. Μερικά από τα αποτελέσματα είναι αρκετά εκπληκτικά για τον τομέα της φυσικής. Τα ιδιοδιανύσματα έχουν ένα ευρύ φάσμα εφαρμογών σε διάφορους τομείς όπως η φυσική, η χημεία, η γεωλογία για την επίλυση πολλών φυσικών προβλημάτων και την εξήγηση πολλών φυσικών γεγονότων. Μερικές από τις εφαρμογές τους στην κβαντομηχανική, τα συστήματα επικοινωνίας, τη μηχανολογία, την ανάλυση δόνησης κ.λπ. εξηγούνται στο άρθρο.