Ιδιοδιάνυσμα Λυμένα Παραδείγματα

Ένα ιδιοδιάνυσμα είναι ένα διάνυσμα που αντιπροσωπεύει ένα συγκεκριμένο χαρακτηριστικό ενός συνόλου δεδομένων. Είναι σημαντικό να λύσετε παραδείγματα χρησιμοποιώντας ιδιοδιανύσματα για να βελτιώσετε την κατανόησή σας των εννοιών. Τα ιδιοδιανύσματα είναι σημαντικά στη φυσική και τα μαθηματικά και παίζουν ρόλο σε πολλές πτυχές των φυσικών και μηχανικών συστημάτων. Στη φυσική, τα ιδιοδιανύσματα είναι σημαντικά στη θεωρία της σχετικότητας, την κβαντική μηχανική και τη στατιστική μηχανική. Χρησιμοποιούνται επίσης στην κβαντική θεωρία πεδίων για να περιγράψουν τις ιδιότητες των σωματιδίων και των πεδίων.

Ιδιοδιανύσματα:

Αυτοί είναι οι πίνακες που περιγράφουν γραμμικά συστήματα ως προς τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματά τους. Οι ιδιοτιμές είναι οι μοναδικές λύσεις στις γραμμικές εξισώσεις του συστήματος, ενώ τα ιδιοδιανύσματα αντιπροσωπεύουν τις κατευθύνσεις των λύσεων.

Τα ιδιοδιανύσματα ενός πίνακα Α προσδιορίζονται από την ακόλουθη εξίσωση:

Av=λv

Πού,

Το A είναι ο πίνακας που αντιπροσωπεύει το γραμμικό σύστημα,

v είναι το ιδιοδιάνυσμα που σχετίζεται με την ith ιδιοτιμή και

Το λ είναι η ιδιοτιμή που σχετίζεται με το v.

Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να απλοποιηθεί σημειώνοντας ότι το v είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα προς την κατεύθυνση του λ. Επιπλέον, το v μπορεί να θεωρηθεί ως ένας πίνακας περιστροφής που μπορεί να περιστρέψει το διάνυσμα v γύρω από την αρχή του (δηλαδή Rv =λv, όπου R είναι περιστροφικός τελεστής). Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο το λ ονομάζεται επίσης ιδιοτιμή του πίνακα περιστροφής.

Τα ακόλουθα είναι δύο παραδείγματα που μπορούν να σας βοηθήσουν να κατανοήσετε καλύτερα την έννοια.

• Παράδειγμα 1:Μια εταιρεία θέλει να ανακαλύψει ποιοι πελάτες είναι πιο πιθανό να αγοράσουν ένα συγκεκριμένο προϊόν. Μπορούν να χρησιμοποιήσουν ιδιοδιανύσματα για να βρουν ποιοι πελάτες αντιπροσωπεύουν τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά του προϊόντος.
• Παράδειγμα 2:Ένας επιστήμονας μελετά τη γενετική σύνθεση ενός συγκεκριμένου φυτού. Μπορεί να χρησιμοποιήσει ιδιοδιανύσματα για να βρει ποια γονίδια επηρεάζονται περισσότερο από το περιβάλλον του φυτού.

Εκμάθηση ιδιοτιμών και διανυσμάτων με πίνακες

Αρχικά, ας δούμε κάποια βασική ορολογία.

• Ένας πίνακας είναι ένας ορθογώνιος πίνακας αριθμών που μπορεί να αντιπροσωπεύει οποιοδήποτε είδος δεδομένων.
• Τα στοιχεία ενός πίνακα μπορεί να είναι οποιοσδήποτε τύπος αριθμητικής τιμής, συμπεριλαμβανομένων πραγματικών αριθμών, μιγαδικών αριθμών και διανυσμάτων.
• Ένας πίνακας μπορεί επίσης να είναι τετράγωνος πίνακας, στον οποίο ο αριθμός των γραμμών είναι ίσος με τον αριθμό των στηλών.
• Ένας τετράγωνος πίνακας μπορεί επίσης να είναι ένας τριγωνικός πίνακας, είτε όλα τα στοιχεία πάνω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδέν είτε όλα τα στοιχεία κάτω από τη διαγώνιο αρχής είναι μηδέν.

Ιδιοδιανύσματα λυμένα παραδείγματα 

1. Έστω A=I και έστω V ένα διάνυσμα στήλης μη μηδενικό του S-1. Τότε:

όπου x ≠ 0, Λύση σε  x2 =y όπου Ax =b λύσει για x θα έχει τις 2 πιθανότητες:

• Οι εξισώσεις που περιγράφουν πραγματικούς αριθμούς είναι φυσικά γραμμικά ανεξάρτητες ή μη συζευγμένες. Το σύνολο όλων των λύσεων σχηματίζει αυτό που ονομάζεται πεδίο εάν καλύπτουν ανεξάρτητα.
• Αν το ax =b ισχύει για όλες τις μη αρνητικές τιμές του x, τότε τα διανύσματα (x), [x], … είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

1. Βρείτε το ιδιοδιάνυσμα του παρακάτω τετραγωνικού πίνακα.

1    1    0

0     1    2

0    0     3

Σε αυτόν τον παραπάνω πίνακα,

1. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο για τις ιδιοτιμές είναι (3 − λ) (1 − λ)2.
2. Οι ιδιοτιμές είναι λ =1, 3. 
3. Ιδιοδιανύσματα    λ1 =3 :        v1 =(1, 2, 2), 

λ2 =1 :        v2 =(1, 0, 0).

Το τελικό γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα θα είναι ένα διάνυσμα v3 όχι ίσο με 0 έτσι ώστε 

(A − λ2I)2 v3 =0 αλλά (A − λ2I) το v3 δεν είναι ίσο με 0. Επιλέξτε 

v3 =(0, 1, 0). Σημειώστε ότι (A − λ2I)v3 =v2

Συμπέρασμα

Αυτό το άρθρο εξηγεί παραδείγματα λυμένα με ιδιοδιάνυσμα. Ένα ιδιοδιάνυσμα είναι ένα διάνυσμα που αντιπροσωπεύει ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό ενός συνόλου δεδομένων. Οι ιδιοτιμές είναι οι μοναδικές λύσεις στις γραμμικές εξισώσεις του συστήματος, ενώ τα ιδιοδιανύσματα αντιπροσωπεύουν τις κατευθύνσεις των λύσεων. Είναι σημαντικό να λύσετε παραδείγματα χρησιμοποιώντας ιδιοδιανύσματα για να βελτιώσετε την κατανόησή σας των εννοιών. Τα ιδιοδιανύσματα είναι σημαντικά στη φυσική και τα μαθηματικά και παίζουν ρόλο σε πολλές πτυχές των φυσικών και μηχανικών συστημάτων. Στη φυσική, τα ιδιοδιανύσματα είναι σημαντικά στη θεωρία της σχετικότητας, την κβαντική μηχανική και τη στατιστική μηχανική.