Η μετατόπιση ως συνάρτηση του χρόνου

Για να εξηγήσουμε τη μετατόπιση ως συνάρτηση του χρόνου, πρέπει πρώτα να εξαγάγουμε μια έκφραση μετατόπισης, κοινώς γνωστή ως δεύτερη εξίσωση κίνησης.

Σκεφτείτε ένα σώμα που κινείται σε v1 τη χρονική στιγμή t1, υπόκειται σε σταθερές επιταχύνσεις, με αποτέλεσμα v2 τη στιγμή t2.

Οι βασικές υποθέσεις

Υποθέτοντας αυτές τις υποθέσεις, ας καταλήξουμε στα εξής.

Ολόκληρη η απόσταση που διανύθηκε σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή ισούται με τη μέση ταχύτητα. Γι' αυτό ο μέσος όρος V ορίζεται ως η συνολική μετατόπιση και ο συνολικός χρόνος.

V μέσος όρος Δt είναι ο τύπος μετατόπισης.

ΔT είναι ο ρυθμός μεταβολής και είναι ίσος με το γινόμενο δύο προηγούμενων χρόνων, t2 και t1. Από αυτό προκύπτει ότι η μέση ταχύτητα είναι το άθροισμα της αρχικής και της τελικής ταχύτητας επειδή η επιτάχυνση είναι σταθερή.

Σημαίνει ότι η μετατόπιση ισούται με το άθροισμα δύο ταχυτήτων:της αρχικής και της τελικής ταχύτητας. δηλ., =(V1 + V2/2) Δt.

Η τελική ταχύτητα μπορεί να υπολογιστεί λόγω της σταθερής επιτάχυνσης.

Το V2 είναι =V1 + στο.

Με άλλα λόγια, d =((V1 + V1 + aΔt /2) (t)

Τώρα που ξαναγράψαμε το προηγούμενο κείμενο,

Με άλλα λόγια, d =(2V1 + a ΔT)Δt/2

Ως η δεύτερη εξίσωση κίνησης, αυτή η έκφραση είναι θεμελιώδης στην κινηματική. Ο τύπος μπορεί να το εξακριβώσει:

d=V1 t + ½ at2

Όλοι οι αριθμοί σε αυτήν την παραγωγή, όπως η ταχύτητα, η μετατόπιση και η επιτάχυνση, είναι διανυσματικά μεγέθη, όπου V1 είναι η αρχική ταχύτητα και t είναι η αλλαγή του χρόνου. Έτσι, η ακόλουθη πρόταση δείχνει ότι η μετατόπιση είναι συνάρτηση του χρόνου.

Παράδειγμα ταλαντευόμενων εκκρεμών

• Αν και η κινητική και η δυνητική ενέργεια του Μπομπ είναι στα χαμηλότερα σημεία καθώς πλησιάζει στην κορυφή της τροχιάς, η συνολική ποσότητα ενέργειας παραμένει σταθερή κατά τη διάρκεια του ταξιδιού του. Συμβαίνει μόνο η μετατροπή από κινητική σε δυναμική ενέργεια ή το αντίστροφο.

• Σαν αποτέλεσμα, η εξέταση της κλίσης του γραφήματος μετατόπισης-χρόνου σε καθορισμένα σημεία μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε ότι η ταχύτητα είναι μηδέν.

• Σαν αποτέλεσμα, η κλίση στο Α είναι θετική, υποδεικνύοντας ότι η ταχύτητα του σώματος είναι θετική. Αντίθετα, η κλίση στο Β ισούται με μηδέν, δείχνοντας ότι η ταχύτητα του σώματος είναι μηδέν, αλλά η επιτάχυνση συνεχίζει να μεταδίδει ταχύτητα προς την αντίθετη κατεύθυνση.

• Με άλλα λόγια, εάν η κλίση στο σημείο C του γραφήματος είναι αρνητική, τότε η ταχύτητα του σώματος είναι επίσης αρνητική.

• Αυτό θα λάβουμε αν σχεδιάσουμε τη μετατόπιση σε σχέση με το χρόνο για αυτό το ταλαντούμενο εκκρεμές, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα, αντί να βασιστούμε στο μέγεθος για να προσδιορίσουμε είτε η ταχύτητα είναι θετική ή αρνητική. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιείται η κατεύθυνση.

• Καθώς ο κορμός του εκκρεμούς ταλαντεύεται εμπρός και πίσω, η κίνηση είναι κυκλική.

• Δεδομένου ότι γνωρίζουμε τον χρόνο και την περίοδο του εκκρεμούς, μπορούμε επίσης να προβλέψουμε τη μετατόπιση σε οποιοδήποτε σημείο στο μέλλον χρησιμοποιώντας ένα γράφημα.

• Έτσι, η μετατόπιση του ταλαντούμενου εκκρεμούς μπορεί να περιγραφεί ως συνάρτηση του χρόνου.

Το γράφημα της κίνησης

Τώρα, αν σχεδιάσουμε τη μετατόπιση του bob με το χρόνο, θα λάβουμε κάτι σαν αυτό:

Μετατόπιση συνάρτησης ως χρόνος περιοδικής κίνησης

Έστω x0 η αρχική θέση του σωματιδίου και x t η τρέχουσα θέση του. Σε αυτή την περίπτωση, η απόστασή του από το x0 είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ x και x0. Ο χρόνος t επηρεάζει αυτό κατά κάποιο τρόπο. Όταν μια αλλαγή θέσης συμβαίνει με την πάροδο του χρόνου, λέμε ότι η αλλαγή είναι συνάρτηση του χρόνου t. Η συνάρτηση αναφέρεται ως f(t).

x – x0 =Vt αν η κίνηση είναι ομοιόμορφα επιταχυνόμενη (γραμμική συνάρτηση). Η μετατόπιση x – x0 είναι ευθέως ανάλογη του t, όπως φαίνεται σε αυτό το σχήμα. Εφόσον η ισχύς του t είναι 1, η θέση x θεωρείται γραμμική συνάρτηση του t. Το x(t) είναι μια ευθεία γραμμή στο γράφημα. Υποθέτοντας μια ομοιογενή επιτάχυνση κατά μήκος του άξονα x, η μετατόπιση μπορεί να εκφραστεί ως 

x – x0 =ut+½ at2.

Καθώς η μεγαλύτερη δύναμη του t είναι το 2, έχουμε μια τετραγωνική συνάρτηση x(t) ως παραβολή στο γράφημα. Η επιτάχυνση μπορεί να κυμαίνεται με απεριόριστους τρόπους εάν δεν είναι ομοιόμορφη. Ένα από αυτά είναι ιδιαίτερα σημαντικό:προκύπτει από την περιοδικότητα του χρόνου.

Ταχύτητα-χρόνος

• Η σχέση μεταξύ ταχύτητας και χρόνου είναι απλή κατά την ομοιόμορφα επιταχυνόμενη, ευθύγραμμη κίνηση. Χρειάζεται περισσότερος χρόνος για να έχει σημαντική επίδραση η επιτάχυνση στην ταχύτητα. Με σταθερή επιτάχυνση, ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας είναι συνάρτηση του χρόνου.

• Η ταχύτητα θα πρέπει να αυξηθεί κατά διπλάσιο σε διπλάσιο χρόνο, εάν αυξηθεί κατά ένα δεδομένο ποσό σε ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Η νέα ταχύτητα ισούται με την παλιά ταχύτητα συν την αλλαγή στην αρχική ταχύτητα. Θα πρέπει ήδη να μπορείτε να οραματιστείτε την εξίσωση στο κεφάλι σας.

Αλγεβρικά, αυτή είναι η απλούστερη από τις τρεις εξισώσεις για συμπέρασμα. Ο ορισμός της επιτάχυνσης είναι το σημείο εκκίνησης.

a=∆ v/∆t

Αναπτύσσοντας το ∆v σε v-v0 και συμπυκνώνοντας το ∆t σε t, έχουμε:

a=v-v0/t

Συμπέρασμα

Έτσι μάθαμε τη βασική έννοια της μετατόπισης ως συνάρτηση του χρόνου. Είναι μια περιοδική συνάρτηση που σημαίνει ότι μπορεί να προβλεφθεί σε οποιοδήποτε σημείο στο μέλλον, με την προϋπόθεση ότι γνωρίζουμε την ώρα και έχουμε καλή κατανόηση για το πόσο καιρό το εκκρεμές βρίσκεται σε κίνηση. Ως εκ τούτου, είναι συνάρτηση του χρόνου να δηλώσουμε ότι η μετατόπιση είναι συνάρτηση του χρόνου.