Διεύθυνση συνημίτονο ευθείας που ενώνει δύο δεδομένα σημεία

Στην τρισδιάστατη γεωμετρία, οι γραμμές που τέμνουν τους άξονες x, y και z αναφέρονται ως συνημίτονα κατεύθυνσης της ευθείας. Ορίζονται ως εξής:Για να διατηρηθεί η συνέπεια, τα γράμματα l, m και n χρησιμοποιούνται συχνά για να υποδηλώσουν αυτά τα κατευθυντικά συνημίτονα.

Οι γωνίες συνημιτόνου μπορούν να προσδιοριστούν μόνο αφού καθοριστεί η γωνία που σχηματίζει η ευθεία με κάθε άξονα του τριγώνου. Αξίζει να παρατηρήσετε ότι η γωνία αλλάζει όταν η γραμμή αντιστρέφεται.

Εισαγωγή στο συνημίτονο κατεύθυνσης 

• Κάθε διάνυσμα που υποδεικνύει τη θέση του σχετικά με την προέλευση ονομάζεται διάνυσμα θέσης.
• Πριν μιλήσετε για τα κατευθυντικά συνημίτονα, σκεφτείτε ένα διάνυσμα θέσης.
• Σκεφτείτε τρία επίπεδα που ονομάζονται x,y,z στον 3d χώρο με το O ως αρχή, το OQ είναι η γραμμή αναφοράς και το μήκος της γραμμής OQ είναι q.
• Q είναι το διάνυσμα στο χώρο με μεταβλητή q.
• Όταν μια κατευθυνόμενη γραμμή OQ διέρχεται από την αρχή, δημιουργεί γωνίες α, β και γ με τους άξονες x, y και z, αντίστοιχα, με το O ως αναφορά.
• οι γωνίες α, β και γ ονομάζονται γωνίες κατεύθυνσης της ευθείας και το συνημίτονο αυτών των γωνιών μας δίνει τα συνημίτονα διεύθυνσης.
• Ας υποθέσουμε ότι επεκτείνουμε τη γραμμή OQ σε 3 d σημεία για να γνωρίζουμε τα κατευθυντικά συνημίτονα έτσι ώστε να μπορούμε να πάρουμε τη συμπληρωματική γωνία β όπως φαίνεται στο σχήμα.
• Η γραμμή κατεύθυνσης αντιστρέφεται αν αντιστρέψουμε την κατεύθυνση της γραμμής OQ.
• Αφού λάβουμε υπόψη τη γωνία που δημιουργεί το διάνυσμα θέσης και την κατεύθυνση της ευθείας στα θετικά τέταρτα, μπορούμε να εξετάσουμε τα διανύσματα θέσης της ευθείας OQ.

Αν OQ =q, τότε μπορούμε να δούμε ότι

x=qcosα

y =qcosβ

z=qcosγ

Όπου k δηλώνει το μέγεθος του διανύσματος και δίνεται από,

q =√(x–0)2+(y–0)2+(z–0)2

⇒q=x2+ y2+ z2

Τα συνημίτονα των γωνιών διεύθυνσης cosα αντιπροσωπεύονται με l

Τα συνημίτονα των γωνιών διεύθυνσης cos β παριστάνονται με m

Τα συνημίτονα των γωνιών διεύθυνσης cosγ αντιπροσωπεύονται με n

x =qcosα =lq —————— (1)

y =qcosβ =mq————— (2)

z =qcosγ=nq————— (3)

Μπορούμε επίσης να αναπαραστήσουμε το q στις συνιστώσες του μοναδιαίου διανύσματος χρησιμοποιώντας το ορθογώνιο σύστημα.

q =xi+ yj +zk

Αντικαθιστώντας τις τιμές των x, y και z, ως lq, mq, nq αντίστοιχα στην παραπάνω εξίσωση

q=lq i + mq j+ nq z

⇒r =qq =l i + m j+ n z

• q – συνημίτονα των γωνιών κατεύθυνσης ενός διανύσματος με συντελεστή του μοναδιαίου διανύσματος
• Διάνυσμα μονάδας q – επιλύεται από τα ορθογώνια στοιχεία

Ο αριθμός που είναι ανάλογος προς την κατεύθυνση του συνημιτόνου ονομάζεται λόγος διεύθυνσης της ευθείας. Ο λόγος κατεύθυνσης της γραμμής αντιπροσωπεύεται από a,b,c

Επίσης OQ2 =OA2+OB2+OC2

q =x2+ y2 + z2

με τη διαίρεση της εξίσωσης q =x2+ y2 + z2   παίρνουμε 

q2q2=x2q2+ y2q2+ z2q2

Χρησιμοποιώντας την εξίσωση 1,2,3

1 =xq2+ yq2+ zq2=l2 + m2 + n2

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, το άθροισμα του τετραγώνου του κατευθυντικού συνημιτόνου =1

Έστω a,b,c οι λόγοι κατεύθυνσης μιας ευθείας 

Όπου a∝l,b∝m, c∝n

οπότε παίρνουμε a=kl, b=km, c=kn

Εδώ είναι η σχέση μεταξύ των λόγων διεύθυνσης και των συνημιτόνων διεύθυνσης μιας ευθείας δίνεται από

la=mb=nc=k

Έχουμε ήδη δει l2 + m2 + n2 =1, από αυτό βρήκαμε k=1a2+b2+c2

Η τιμή του k μπορεί να είναι θετική ή αρνητική με βάση την κατεύθυνση της κατευθυνόμενης γραμμής

Λυμένο παράδειγμα

Θεωρήστε το σημείο P(x, y, z) με συντεταγμένες (1, 2, 3). Βρείτε τα συνημίτονα κατεύθυνσης της ευθείας και τον άμεσο λόγο με το σημείο αρχής να είναι O(0, 0, 0) για τις δεδομένες τιμές στην ερώτηση

Cos α,Cosβ,Cosγ=xr,yr, zr

|r|=x2+ y2 + z2

|r|=12+ 22 + 32  =√14

Καταλήγουμε στο συμπέρασμα Cos α,Cosβ,Cosγ(συνημίτονο κατεύθυνσης)=1√14,2√14, 3√14

Ο λόγος κατεύθυνσης του δεδομένου σημείου P(x, y, z) θα είναι 1:2:3.

Συμπέρασμα:

Το συνημίτονο διεύθυνσης είναι ένα διάνυσμα που αντιπροσωπεύει την κατεύθυνση της ευθείας σε ένα τρισδιάστατο επίπεδο. Εάν η γραμμή γωνίας κάνει με άξονα x=α  με άξονα y είναι β  και με άξονα z είναι γ τότε cos2α +cos2β +cos2γ=1 .Ο λόγος κατεύθυνσης είναι απλώς ένας άλλος τρόπος για να αναπαραστήσουμε την κατεύθυνση μιας γραμμής. Το πλεονέκτημα είναι ότι δεν χρειάζεται να ασχολούμαστε με κλάσματα για κατεύθυνση.