Στον λογισμό, μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση είναι μια συνάρτηση μιας μεταβλητής της οποίας η παράγωγος υπάρχει σε κάθε σημείο της περιοχής της. Σε κάθε εσωτερικό σημείο στον τομέα μιας διαφοροποιήσιμης συνάρτησης, η εφαπτομένη στο γράφημα είναι πάντα μη κάθετη. Δεν υπάρχει θραύση, κορυφή ή γωνία σε μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση. Μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση είναι πάντα συνεχής. Ωστόσο, δεν είναι κάθε συνεχής συνάρτηση διαφοροποιήσιμη.

Σύνθετη συνάρτηση- Σημασία

Ο σχηματισμός μιας σύνθετης συνάρτησης συμβαίνει όταν μια μεμονωμένη συνάρτηση παράγεται με συνδυασμό δύο ή περισσότερων συναρτήσεων. Μερικά παραδείγματα σύνθετων συναρτήσεων είναι το fog(x) ή το gof(x).

• Το g(x) είναι η είσοδος της συνάρτησης f(g(x)). Το f(g(x)) μπορεί επίσης να γραφτεί ως fog(x).
• Το f(x) είναι η είσοδος της συνάρτησης g(f(x)). Το g(f(x)) μπορεί επίσης να γραφτεί ως gof(x).

Χαρακτηριστικά της σύνθετης συνάρτησης

Οι διάφορες ιδιότητες μιας σύνθετης συνάρτησης περιλαμβάνουν τα ακόλουθα:

• Οι σύνθετες συναρτήσεις δεν ακολουθούν τον μεταθετικό νόμο. Αυτό σημαίνει ότι η ομίχλη ≠ γοφ.
• Οι σύνθετες συναρτήσεις ακολουθούν τον συνειρμικό νόμο, που σημαίνει (ομίχλη)ω =φο(γκοχ).
• Αν δύο συναρτήσεις είναι bijective, τότε το σύνθετο και των δύο συναρτήσεων είναι επίσης bijective.
• Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο συναρτήσεις, η f και η g. Τόσο η f όσο και η g είναι διπλές συναρτήσεις. Εάν υπάρχει gof, τότε (gof)-1 =f-1og-1.
• Θα λάβετε μια άρτια σύνθετη συνάρτηση εάν και η f και η g είναι ζυγές συναρτήσεις.
•  Θα λάβετε μια περιττή σύνθετη συνάρτηση αν και η f και η g είναι περιττές συναρτήσεις.
• Θα λάβετε επίσης μια άρτια συνάρτηση εάν, σε περίπτωση που, η f είναι η άρτια συνάρτηση και η g η περιττή συνάρτηση.
• Θα λάβετε επίσης μια άρτια συνάρτηση εάν, σε περίπτωση που, η f είναι η περιττή συνάρτηση και η g είναι η άρτια συνάρτηση.

Σύνθετη συνάρτηση-Διαφορικότητα

Μια συνάρτηση f(x) λέγεται ότι είναι διαφορίσιμη στο πεδίο ορισμού της εάν και μόνο εάν η f(x) υπάρχει ως πεπερασμένη παράγωγος. Τότε η f(x) θα είναι διαφορίσιμη στο σημείο όπου x =a εάν η συνάρτηση υπάρχει πεπερασμένα. Επομένως, ο τύπος διαφοροποίησης των σύνθετων συναρτήσεων είναι,

f'(a) =[f(x) – f(a)]/(x – a)

Διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις- Ιδιότητες

Οι ιδιότητες των διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων ποικίλλουν ανάλογα με τις διαφορετικές μαθηματικές συναρτήσεις. Μερικές από τις σημαντικές ιδιότητες των διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων είναι οι εξής:

• Θα παρατηρήσετε ότι το άθροισμα, το γινόμενο, η διαφορά, το σύνθετο και το πηλίκο οποιωνδήποτε δύο διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων είναι μια διαφορική συνάρτηση.
• Μια συνάρτηση μπορεί να είναι συνεχής σε ένα σημείο, αλλά η συνάρτηση δεν χρειάζεται να είναι επίσης διαφοροποιήσιμη σε αυτό το σημείο.

Διαφορικότητα =συνέχεια

Συνέχεια ≠ διαφοροποίηση

• Μια συνάρτηση δεν θα είναι διαφοροποιήσιμη εάν αυτή η συνάρτηση είναι ασυνεχής σε αυτό το σημείο. Για παράδειγμα, εάν μια συνάρτηση είναι ασυνεχής από το 3 έως το 8, αυτή η συνάρτηση δεν θα είναι διαφοροποιήσιμη από το 3 στο 8. 

Συμπέρασμα

Αυτό το άρθρο εξηγεί τη διαφοροποίηση της σύνθετης συνάρτησης. Ο σχηματισμός μιας σύνθετης συνάρτησης συμβαίνει όταν μια μεμονωμένη συνάρτηση παράγεται με συνδυασμό δύο ή περισσότερων συναρτήσεων. Μια συνάρτηση f(x) λέγεται ότι είναι διαφορίσιμη στο πεδίο ορισμού της εάν και μόνο εάν η f(x) υπάρχει ως πεπερασμένη παράγωγος. Τότε η f(x) θα είναι διαφορίσιμη στο σημείο όπου x =a εάν η συνάρτηση υπάρχει πεπερασμένα. Οι ιδιότητες των διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων ποικίλλουν ανάλογα με τις διαφορετικές μαθηματικές συναρτήσεις.