Διαφορικές Εξισώσεις – Σημαντικές Ερωτήσεις

Μια διαφορική εξίσωση είναι μια εξίσωση που περιλαμβάνει την παράγωγο μιας άγνωστης συνάρτησης. Για να προσδιορίσουμε πόσο γρήγορα αλλάζει μια συνάρτηση σε ένα δεδομένο σημείο, πρέπει να δούμε τις παραγώγους της. Μέσω μιας διαφορικής εξίσωσης, οι παράγωγοι αυτών των συναρτήσεων συνδέονται μεταξύ τους.

Οι διαφορικές εξισώσεις έχουν δύο τύπους λύσεων:γενικές και ειδικές. Η ολοκλήρωση χρησιμοποιείται τόσο στις γενικές όσο και στις ειδικές λύσεις διαφορικών εξισώσεων. Οι διαφορικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν με έναν από τους πέντε τρόπους. Ας δούμε μερικές διαφορικές εξισώσεις και τις σημαντικές ερωτήσεις τους.

Πώς να λύσετε διαφορικές εξισώσεις

Τώρα που ξέρετε τι είναι μια διαφορική εξίσωση, ας δούμε πώς να βρούμε μια λύση σε αυτές.

Προσεγγίσεις για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων

Λύση με επιθεώρηση
Διαχωρίσιμη μεταβλητή
Ομογενές
Γραμμική διαφορική εξίσωση
Γενικά

Για να λύσουμε μια διαφορική εξίσωση, χρησιμοποιούμε y =f(x), όπου f(x) είναι η συνάρτηση που δίνει τη λύση.

Η διαφορική εξίσωση έχει και γενική και ειδική λύση. Η αλλαγή των αυθαίρετων σταθερών τιμών στη γενική λύση οδηγεί σε μια συγκεκριμένη λύση. Η γενική λύση έχει αυθαίρετες σταθερές.

Η γενική λύση των διαφορικών εξισώσεων

Η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης νης τάξης που περιλαμβάνει n σημαντικές αυθαίρετες σταθερές είναι μια γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης.

Χρησιμοποιώντας μια μέθοδο μεταβλητής για να λύσουμε μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης, πρέπει να εισαγάγουμε μια αυθαίρετη σταθερά όταν ολοκληρωθεί η ολοκλήρωση. Ως αποτέλεσμα, η λύση στη διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης περιέχει μια σημαντική αυθαίρετη σταθερά μετά την απλοποίηση. Ομοίως, η γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης περιλαμβάνει σημαντικές αυθαίρετες σταθερές κ.ο.κ.

Η γενική λύση είναι γεωμετρικά ισοδύναμη με μια οικογένεια καμπυλών n παραμέτρων. Για παράδειγμα, η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dy/dx =8x2 βρίσκεται ότι είναι y =x3 + C, όπου c είναι ένας αυθαίρετα επιλεγμένος συντελεστής.

Πώς να βρείτε λύσεις σε διαφορικές εξισώσεις

Οι τιμές, οι εξισώσεις, οι καμπύλες και οι γραμμές που ικανοποιούν τη δεδομένη διαφορική εξίσωση είναι γνωστές ως λύσεις. Οι λύσεις στην απλή εξίσωση της μορφής x2 + 4 =0 ή sin2x + cosx =0 μπορούν να εκφραστούν ως αριθμητικές τιμές, είτε πραγματικές είτε μιγαδικές.

Η λύση μιας εξίσωσης μπορεί να αντικατασταθεί με το x στην εξίσωση και η αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι ίση με τη δεξιά πλευρά.

Ας δούμε τη διαφορική εξίσωση d2y/dx2 + y =0 σε μεγαλύτερο βάθος. Είναι δυνατή η επίλυση μιας διαφορικής εξίσωσης σχεδιάζοντας μια καμπύλη της μορφής:y =f(x), όπου x είναι η μεταβλητή που είναι συνάρτηση του y. Όταν η απάντηση y =f(x) χρησιμοποιείται στη λύση της διαφορικής εξίσωσης, η αριστερή και η δεξιά πλευρά είναι ίσες.

Η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης είναι άπειρη. Στα μαθηματικά, η εύρεση της λύσης μιας διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται ολοκλήρωση μιας διαφορικής εξίσωσης. Μια λύση διαφορικής εξίσωσης είναι μια έκφραση για την εξαρτημένη μεταβλητή ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή που πληροί τις συνθήκες της διαφορικής εξίσωσης.

Η γενική λύση είναι αυτή με τις περισσότερες αυθαίρετες σταθερές. Μια συγκεκριμένη λύση είναι αυτό που παίρνουμε όταν δίνουμε συγκεκριμένες τιμές στις αυθαίρετες σταθερές στη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης.

Για παράδειγμα, μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης σχηματίζεται αφαιρώντας μια αυθαίρετη σταθερά, ενώ μια διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης με την αφαίρεση δύο αυθαίρετων σταθερών.

Συγκεκριμένες λύσεις και γενική λύση διαφορικής εξίσωσης

Η καθολική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης είναι μια συνάρτηση f(x) με είσοδο οποιονδήποτε αριθμό σταθερών, όπως a και b. Μια λύση στη διαφορική εξίσωση που δεν περιλαμβάνει μια αυθαίρετα δεδομένη σταθερά ονομάζεται συγκεκριμένη λύση.

Διαφορική εξίσωση:d2y/dx2 + 2dy/dx + 1 =0
Γενική λύση:y =2x + k
Συγκεκριμένη λύση:y =2x + 2, y =2x + 7

Ονομάζεται γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης εάν περιέχει τυχόν αυθαίρετες τιμές και αντιπροσωπεύει την οικογένεια των καμπυλών στο σύστημα συντεταγμένων. Είναι επίσης δυνατό να αναφερθεί η λύση χωρίς αυθαίρετες σταθερές ως «η συγκεκριμένη λύση μιας διαφορικής εξίσωσης» και η γενική λύση ως «η συγκεκριμένη λύση μιας διαφορικής εξίσωσης» όταν δίνονται τιμές στις σταθερές.

Συμπέρασμα

Απαιτείται μια επισκόπηση των διαφορικών εξισώσεων και των σημαντικών ερωτημάτων τους για την κατανόηση των βαθιών εννοιών του λογισμού. Επιπλέον, αυτές οι εξισώσεις έχουν τεράστιο εύρος και χρήση στην αρχιτεκτονική και την επιστήμη των υλικών. Μέσα από αυτό το θέμα, μπορείτε να μάθετε να βρίσκετε τη λύση διαφορικών εξισώσεων.

Οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν παράγωγα για να εκφράσουν τους ρυθμούς μεταβολής στον λογισμό. Μερικές φορές, οι λύσεις σε αυτές τις εξισώσεις αποκαλύπτουν πώς και γιατί αλλάζουν συγκεκριμένες μεταβλητές.