Ανάλυση διαστάσεων και εφαρμογή της

Στον τομέα της επιστήμης, η ανάλυση διαστάσεων παίζει σημαντικό ρόλο. Καθορίζει τη σχέση μεταξύ των θεμελιωδών φυσικών μεγεθών. Παρέχει μια βασική κατανόηση της φύσης των διαφόρων αντικειμένων μαθηματικά. Υπάρχουν διάφορες εφαρμογές της ανάλυσης διαστάσεων καθώς η φύση των φυσικών μεγεθών μπορεί να συναχθεί από τις διαστάσεις τους. Ας διαβάσουμε αυτό το άρθρο για να μάθουμε τα πάντα για την ανάλυση διαστάσεων και τις εφαρμογές της.

Διάσταση φυσικών μεγεθών

Όλοι οι παραγόμενοι τύποι μπορούν να γραφτούν ως η διάσταση επτά θεμελιωδών μεγεθών, γνωστών και ως βασικών ποσοτήτων. Αυτά τα βασικά φυσικά μεγέθη είναι:

• Θερμοκρασία [K]
• Ώρα [T]
• Μάζα [M]
• Μήκος [L]
• Ηλεκτρικό ρεύμα [A]
• Ένταση φωτεινότητας [cd]
• Η συγκέντρωση μιας ουσίας [mol]

Η διάσταση οποιασδήποτε ποσότητας αναπαρίσταται ανυψώνοντας τη βάση σε έναν εκθέτη. Για παράδειγμα, έχουμε ότι ο όγκος ενός κυβοειδούς είναι:

V =l bh

Εδώ, το μήκος(l), το πλάτος(b) και το ύψος(h) είναι όλα το μέτρο του μήκους των πλευρών ενός κυβοειδούς.

Έτσι, ο τύπος διαστάσεων του όγκου γίνεται:

V =[L] [L] [L]

V =[L3]

Ένα άλλο παράδειγμα δύναμης που παίρνουμε. Ο τύπος της δύναμης δίνεται ως:

F=ma

F =m (v/t)

F =m (d/t2)

F =[M L T-2]

Έτσι, από αυτά τα παραδείγματα, καταλαβαίνουμε ότι ο τύπος διαστάσεων χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει πώς και ποια θεμελιώδη μεγέθη σχηματίζουν τη διάσταση οποιουδήποτε φυσικού μεγέθους. Επιπλέον, η εξίσωση που εξισώνει τα φυσικά μεγέθη με τις διαστάσεις τους ονομάζεται εξίσωση διαστάσεων.

Αρχή της ομοιογένειας της διάστασης

Σύμφωνα με την αρχή της ομοιογένειας των διαστάσεων, μόνο το μέγεθος των ποσοτήτων με την ίδια διάσταση μπορεί να προστεθεί ή να αφαιρεθεί. Το παράδειγμα που αναφέρεται σε αυτό το υλικό μελέτης σημειώνει σχετικά με την ανάλυση διαστάσεων. καταλαβαίνουμε ότι ο όγκος με διάσταση [L3] δεν μπορεί να αφαιρεθεί από τη δύναμη με διάσταση [MLT-2].

Αυτή η αρχή είναι πολύ χρήσιμη για τον προσδιορισμό της ορθότητας μιας εξίσωσης. Αν όλοι οι όροι δεν έχουν την ίδια διάσταση, η εξίσωση είναι λανθασμένη.

Για παράδειγμα, παίρνουμε την εξίσωση:12mv2 =mgh

Εδώ όλα τα σύμβολα έχουν τη συνηθισμένη τους σημασία. Μπορούμε τώρα να ελέγξουμε αν αυτή η εξίσωση είναι σωστή βρίσκοντας τις διαστάσεις. Οι διαστάσεις κάθε όρου εκατέρωθεν υπολογίζονται αν δεν βρεθεί ο ίδιος, η εξίσωση είναι λάθος.

Σε αυτό το παράδειγμα, η διάσταση της αριστερής πλευράς είναι:

12mv2 =12m(d/t) 2 =[M L2 T-2]

Η διάσταση της δεξιάς πλευράς είναι:

mgh =m(v/t)h =m(d/t2) h =[M L2T-2] 

Εδώ, βλέπουμε ότι οι διαστάσεις στην αριστερή και τη δεξιά πλευρά είναι ίδιες. άρα η εξίσωση είναι σωστή.

Συναγωγή της σχέσης μεταξύ φυσικών μεγεθών 

Χρησιμοποιώντας ανάλυση διαστάσεων, μπορούμε απλά να προσδιορίσουμε τη σχέση μεταξύ φυσικών μεγεθών. Για την εύρεση της σχέσης πρέπει να είναι γνωστός ο βαθμός εξάρτησης, δηλαδή ο βαθμός στον οποίο μια ποσότητα αυξάνεται ή μειώνεται σε σχέση με μια άλλη ποσότητα. Χρησιμοποιώντας την αρχή της συνέπειας, μπορεί να υπολογιστεί η εξάρτηση.

Για παράδειγμα, έχουμε τη σχέση του χρονικού διαστήματος του εκκρεμούς ως T=k lx gy mz. Εδώ, T είναι ο χρόνος, m είναι η μάζα, l είναι το μήκος του εκκρεμούς και g είναι η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας.

T=k lx gy mz

Γράφοντας τις διαστάσεις και στις δύο πλευρές:

[M0 L0 T] =k [L]x [L T-2]y [M]z

[M0 L0 T] =k [L]x+y [ T]-2y [M]z

Σύγκριση και των δύο πλευρών:

x+y=0; -2y=1; z=0

Κατά την επίλυση των εξισώσεων παίρνουμε: 

y =-1/2; x =1/2; z=0

Αντικαθιστώντας τις τιμές παίρνουμε:

T=k l1/2 g-1/2 m0

Επομένως ο τύπος του χρονικού διαστήματος γίνεται:

T =k lg

Ποσότητες χωρίς διαστάσεις

Τα αδιάστατα μεγέθη είναι αυτά που δεν έχουν καμία διάσταση και έχουν μόνο σταθερή τιμή. Μπορεί να υπάρχουν δύο είδη αδιάστατων μεγεθών είναι:

• Ποσότητα χωρίς διαστάσεις χωρίς μονάδα:, sin, e, cos , κ.λπ.
• Ποσότητα χωρίς διάσταση με τη μονάδα:Σταθερή, ακτινική και γωνιακή μετατόπιση Joule.

Εφαρμογή ανάλυσης διαστάσεων 

Έχουμε ήδη μάθει πόσο σημαντική είναι η διαστατική ανάλυση για τον προσδιορισμό της φύσης των φυσικών μεγεθών. Είναι σημαντικό να γνωρίζουμε τη φύση των διαστάσεων των φυσικών μεγεθών καθώς μόνο τα μεγέθη με τις ίδιες διαστάσεις μπορούν να προστεθούν ή να αφαιρεθούν.

Η ανάλυση διαστάσεων μας βοηθά περαιτέρω να προσδιορίσουμε τη σχέση μεταξύ των διαφόρων φυσικών μεγεθών. Μας επιτρέπει επίσης να ελέγξουμε αν η παραγωγή διαφόρων μαθηματικών τύπων είναι σωστή ή όχι.

Όταν πολλαπλασιάζονται οι διαστάσεις, γίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως οι κανονικές αλγεβρικές εκφράσεις. Η ίδια διάσταση σε αριθμητή και παρονομαστή μπορεί επίσης να ακυρωθεί.

Η ανάλυση διαστάσεων χρησιμοποιείται επίσης για τον προσδιορισμό του τύπου διαφόρων φυσικών μεγεθών. Πάνω απ' όλα, η μονάδα μιας φυσικής ποσότητας μπορεί να μετατραπεί από το ένα σύστημα στο άλλο.

Αν και υπάρχουν διάφορες εφαρμογές ανάλυσης διαστάσεων, υπάρχουν επίσης ορισμένοι περιορισμοί. Δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε την τιμή της σταθεράς χρησιμοποιώντας ανάλυση διαστάσεων.

Πάνω απ 'όλα, η ανάλυση διαστάσεων δεν χρησιμοποιείται για τριγωνομετρικές συναρτήσεις, λογάριθμους και εκθετικές συναρτήσεις.

Συμπέρασμα 

Η ανάλυση διαστάσεων είναι η μέθοδος έκφρασης των φυσικών μεγεθών ως εκθέτη θεμελιωδών μεγεθών. Έχει διάφορες εφαρμογές στην επιστήμη και τα μαθηματικά για την εξαγωγή του τύπου και τον έλεγχο της συνοχής του.

Ωστόσο, ακόμα κι αν η εξίσωση περάσει τη δοκιμή συνέπειας, δεν αποδεικνύεται απαραίτητα ότι είναι σωστή. Επομένως, μαθαίνουμε ότι οι διαστατικά σωστές εξισώσεις μπορεί να μην είναι ο πραγματικός τύπος της συγκεκριμένης φυσικής ποσότητας.